Чешские коциклы и монодромия - Математика
2 голосов
/ 04 мая

Хорошо известно, что ove r топологическое пространство $X$ (и выбор открытой бухты r $\mathfrak{U}$) каждого локально-постоянного чеховского коцикла $g$ на $\mathfrak{U}$ с коэффициентами в группе $G$ дает $G$ -крывающее пространство $X_g \rightarrow X$. Таким образом, действие монодромии этого покрывающего пространства дает гомоморфизм фундаментальной группы $\pi_1(X,x)$ в точке $x\in X$ до $G$.

Я пытаюсь записать этот гомоморфизм явно в терминах коцикла $g$. В своем Бахело r Тезис , лемма 5.5, М. П. Нордман утверждает, что это можно сделать следующим образом. Вы учитываете r al oop $\sigma:[0,1]\rightarrow X$ и применяете Lebesgue numbe r лемму , чтобы получить конечную субковеру r $\{U_1,...,U_n\}$ из $\mathfrak{U}$ и раздел $t_0 из интервал $[0,1]$ таким образом, что $\sigma([t_{i-1},t_i])\subset U_i$. Теперь вы можете определить гомоморфизм $f:\pi_1(X,x)\rightarrow G$ как $$ f([\sigma])=g_{12} g_{23} g_{34} \cdots g_{(n-1) n}. $$

Howeve r, для меня не ясно r, почему это не зависит от выбора «субковея Лебега r «$\{U_1,...,U_n\}$ o r по выбору представителя класса $[\sigma]$.

Fo r пример, учитывая r случай, когда $\mathfrak{U}=\{U,V,W\}$ состоит из трех открытых множеств с $U\cap V \neq \varnothing$ и $U,V \subset W$. Если мы выберем путь, содержащийся в $U\cup V$, мы можем выбрать покрытие Лебега равным $\{U,V\}$, что даст $f([\sigma])=g_{UV}$ o r, мы можем выбрать покрытие просто $\{W\}$, что даст $f([\sigma])=1$ и я не понимаю, почему они должны совпадать.

...