Возможно ли иметь $\int_a^b f(x)dx=0$, хотя $f(x)>0$ на $[a, b]$? - Математика
0 голосов
/ 04 мая

Вопрос Возможно ли иметь $\int_a^b f(x)dx=0$, хотя $f(x)>0$ на $[a, b]$?

В классе исчисления были некоторые споры о существовании $y=f(x)$ , который является положительным , но не должен быть непрерывным на заданном интервале $I=[a, b]$, так что $$\int_a^b f(x)dx=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots (1)$$

Согласно сумме Римана, одному из определений интегрирования, Можно сказать, что $$\int_a^b f(x)dx=\lim_{x\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i$$, где $a=x_0, $\Delta x_i=x_i=x_{i-1}>0$ и $x_i^*\in[x_{i-1}, x_i] \ (i=1, 2, \cdots, n)$. Поскольку $\lim_{x\to\infty}f(x)$ может быть нулем, хотя $f(x)>0, \forall x\in\mathbb R$, мы думали, что $(1)$ может иметь место.

Кроме того, поскольку существует $\exists c\in[a, b]$, такое, что $f(c)=0$, если $f$ является непрерывным и $(1)$ выполняется (это на самом деле может быть доказано с помощью EVT и IVT), мы сейчас просто сосредоточиваемся на прерывистом Функция, чтобы найти его. Я думал о функции $y=f(x)$, удовлетворяющей $$\sum_{i=1}^n f(x_i)\cdot\frac{b-a}{n}={1\over n}$$, но ее было трудно найти. И еще r дело пришло мне в голову $$\sum_{i=1}^n f(x_i)\cdot\frac{b-a}{n}={\sin{n}\over n}$$ и использовать тот факт, что $$\cos{1}+\cos{2}+\cdots+\cos{n}=\frac{\sin(n+{1\over2})-\sin{1\over2}}{2\sin{1\over2}}$$ но ничего не работает. Я даже думал о доказательстве, использующем слабый принцип индукции, то есть fo r $g(x)>0, \forall x\in\mathbb R$ и $\forall i\in\mathbb N, x_i\in\mathbb R$, $$(I) \ n=1: \sum_{i=1}^n g(x_i)=g(x)>0 \\ (II)\ \text{Suppose} \ n=k \ \text{holds. When} \ n=k+1, \\ \sum_{i=1}^{k+1} g(x_i)=\sum_{i=1}^{k} g(x_i)+g(x_{k+1})>0 $$. С помощью математической индукции мы доказали, что $$\forall n\in\mathbb N, \sum_{i=1}^n g(x_i)>0$$ В этой логике c можем ли мы сделайте вывод, что $$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^ng(x_i)>0\ ?$$ Если это так, то, начиная с $f(x_i^*)\Delta x_i>0$, я подумал, что у нас не может быть функции $f$, удовлетворяющей $(1)$.

. Есть ли известная функция, которую выполняет $(1)$? Я хочу получить 1047 * различных примеров r доказательств r невозможности. Оба приветствуются. Спасибо.

...