Упражнение о двойственных пространствах - Математика
0 голосов
/ 04 мая

Я пытался выполнить это упражнение, но я не уверен, как это сделать.

Пусть $c_0$ будет подпространством $l_\infty$, образованным сходящимся к 0 последовательностям

а) Найдите все элементы с нормой 1 двойственного из $c_0$, $c_0^*$, чтобы они достигли нормы для r $y_0=(1, 1, 1/2, 1/3,...)$.

б) Для r предыдущего элементы, найдите все векторы в единичном замкнутом шаре $c_0$, где эти элементы достигают нормы i r.

c) Является ли $c_0$ строго выпуклым?

Поскольку я не знаю ответа r fo r a) Я не могу перейти к следующей части.

1 Ответ

1 голос
/ 04 мая

а): Вы должны найти все $(a_n) \in L^{1}$ такие, что $\sum |a_n|=1$ и $a_1+a_2+a_3/2+a_4/3+...=1$. Это дает $1=a_1+a_2+a_3/2+a_4/3+... \leq \sum |a_n|=1$, поэтому равенство должно соблюдаться повсюду. Это возможно только при $a_2=a_3=....=0$ и $0\leq a_1 \leq 1, a_2=1-a_1$. Следовательно, ответ r а) $\{(a,1-a,0,0...): 0\leq a \leq 1$.

б): Вы должны найти все последовательности $(b_n) \in c_0$, такие что $|b_n| \leq 1$ fo r все $n$ и $ab_1+(1-a)b_2=\|(a,1-a,0,..)\|=1$. Я позволю вам показать, что это возможно только тогда, когда $b-1=b_2=1$.

c) Поскольку $\|(1,1,0,0...)\|=1$, $\|(1,-1,0,0...)\|=1$ и $ \|(1,1,0,0...) +(1,-1,0,0...)\|=2$ пространство не является строго выпуклым.

...