Найдите любые два целых числа, которые удовлетворяют $19x+47y = 1$ - Математика
1 голос
/ 04 мая

Как мне найти два целых числа, которые удовлетворяют $19x+47y = 1$? Есть ли какая-то техника для поиска 2 номеров? Я не могу найти 2 цифры в $\mathbb{Z}$, которые делают эту работу.

Спасибо!

Ответы [ 3 ]

3 голосов
/ 04 мая

Метод популяции r заключается в использовании алгоритма деления.

Обратите внимание, что

$$47=2 \cdot 19 + 9$$

$$19=2 \cdot 9 +1$$

Сейчас $1$ можно выразить в виде $19$

$$1=19- 2\cdot 9$$

Также, $$9=47-2\cdot 19$$

Объединение обоих выходов

$$19-2\cdot (47-2\cdot 19)=1$$ $$5\cdot 19-2\cdot 47=1$$

Теперь обратите внимание, что $$lcm(19,47)=19\cdot 47$$ и $19\cdot 47 - 47\cdot 19 =0$

Добавление $0$ к вышеуказанному решению дает общее решение

$$(5+47t)\cdot 19-(2+19t)\cdot 47 =0$$

Также для r любых чисел, $a,b$

Мы можем найти решения для r

$$ax+by=k \gcd{(a,b)}$$

Тогда express $a$ в терминах $b$ $$a=b\cdot q_1+r_1 $$, где $r_1$ - остаток r из $a$ при делении на $b$ и $0\leq r_1\lt b$

Затем, аналогично express $b$ в условия $r_1$ $$b=r_1\cdot q_2 + r_2$$.

Продолжайте до $r_k=\gcd(a,b)$

1 голос
/ 04 мая

Поскольку $\gcd(19,47)=1$, то Идентичность Безу гарантирует, что ваше уравнение r может быть решено в $\mathbb Z$.

Конечно, если $(a,b)$ является решением, то все пары $(a+k47,\, b-k19)$ также являются решениями.

$(a,b)$ задаются Расширенным евклидовым алгоритмом .

1 голос
/ 04 мая

Рассмотрим r непрерывную дробь $\frac{47}{19}$:

$$ \frac{47}{19}=2+\frac{1}{\frac{19}{9}}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{9}}=[2;2,9] $$, обрежьте ее и разверните обратно: $$ [2;2] = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}. $$ Мы имеем, что $\frac{5}{2}$ и $\frac{47}{19}$ являются последовательными конвергентами одного и того же непрерывная дробь, следовательно, разница r составляет $\pm\frac{1}{2\cdot 19}$.
Действительно $$ \frac{47}{19}-\frac{5}{2}=\frac{94-95}{38}=\frac{-1}{38} $$ приводит к $$ 47\cdot 2 - 5\cdot 19 = -1 $$ $$ 47\cdot(-2) + 19\cdot 5 = 1 $$ $$ 47(19-2)+19(5-47) = 1 $$ $$ \color{red}{47\cdot 17 - 19\cdot 42 = 1.}$$

Добро пожаловать на сайт Математика, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...