Что мало о, а о о формально? - Математика
0 голосов
/ 04 мая

Я читаю текст, и он говорит следующее: r функция $c: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$:

Предположим, что $c(x) = 1 + o(\Vert x \Vert)$ если $x \to 0$ и $c(x) = O(1/\Vert x \Vert)$ если $\Vert x \Vert \to \infty$. Может кто-нибудь объяснить, что это значит формально? Я не мог найти определение в книге.

Похоже, Google предлагает, чтобы

$$c(x) = O(1/\Vert x\Vert), \Vert x \Vert \to \infty$$ означало, что существует $M \geq 0$, $a \geq 0$, такое что $\Vert x \Vert \geq a \implies |c(x)| \leq M/\Vert x \Vert$. Это верно?

А как же $c(x) = 1+ o(\Vert x \Vert ), x \to 0$. Что это формально означает?

Ответы [ 3 ]

2 голосов
/ 04 мая

Предположим, что $f:\mathbb R^n \to \mathbb R$ и $g:\mathbb R^n \to \mathbb R$. Пусть $a \in \mathbb R^n$. Сказать, что $f$ равно $o(g)$ при приближении $x$ к $a$, означает, что если $C > 0$, то $|f(x)| \leq C |g(x)|$ fo r все $x$ достаточно близко к $a$. Чтобы быть более точным, это означает, что если $C > 0$, то существует $\delta > 0$ такое, что если $\|x - a \| < \delta$, то $|f(x)| \leq C |g(x)|$.

В особом случае, что $g(x) = \| x \|$, утверждение, что $f$ Значение $o(g)$ при приближении $x$ к значению $0$ означает, что если $C > 0$, то существует $\delta > 0$ такое, что если $\|x \| < \delta$, то $|f(x)| \leq C \|x \|$. Но это равносильно тому, что $$ \frac{f(x)}{\|x\|} \to 0 \quad \text{as } x \to 0. $$

Наконец, сказать, что $c(x) = 1 + o(\|x\|)$ при $x$ приближается к $0$, означает, что функция $c - 1$ равна $o(\|x\|)$ при $x$ приближается $0$. r словами $$ \frac{c(x) - 1}{\| x\|} \to 0 \quad \text{as } x \to 0. $$

2 голосов
/ 04 мая

Определение равно $f\in o(g)$ как $x\to a$ тогда и только тогда, когда fo r all $c>0$ существует некоторое $\delta>0$ такое, что $\lvert f(x)\rvert fo r all $x$ такое, что $\lVert x-a\rVert<\delta$</span>.

Как fo r $O$, определение равно $f\in O(g)$ как $x\to a$ тогда и только тогда, когда есть некоторые $c>0$ и $\delta>0$ такие, что $\lvert f(x)\rvert fo r all $x$ такой, что $\lVert x-a\rVert<\delta$</span>.

1 голос
/ 04 мая
  1. Google правильно.

  2. У нас есть

$$c(x) = 1+ o(\Vert x \Vert ), x \to 0$$

$ \iff$

$$\frac{c(x)-1}{\Vert x \Vert} \to 0, x \to 0 .$$

...