Хоффман и Кунце Линеа r Алгебра Шапта r 1.4 упражнение 10 - подтверждение запроса - Математика
0 голосов
/ 04 мая

Упражнение 10
Пусть $R$ и $R'$ будут $2\times3$ матрицами эшелонов с уменьшенным числом строк, и оба типа $RX=0$ и $R'X=0$ используют одни и те же решения.
Мы нужно показать, что $R=R'$.

Доказательство

Пусть $A$ будет матрица, из которой $R$ получается с помощью конечного количества операций строки. И пусть $B$ будет исходной матрицей $R'$.
Пусть $Z=(z_1,z_2,z_3)$ будет множеством решений $R$ и $R'$.
Теорема 5 гласит, что каждая матрица $m\times n $ эквивалентна строке к матрице эшелона с уменьшенным числом строк. Следовательно, $Z$ является решением, установленным на $A$ и $B$.
Поскольку $A$ и $B$ имеют одни и те же решения, $A=B$, по теореме 1.
Следовательно, оба $R$ и $R'$ получаются из A конечным количеством строковых операций. Поскольку операции со строками не влияют на набор решений $Z$, $R=R'$.

Теорема 1
Эквивалентные системы уравнений linea r имеют абсолютно одинаковые решения.
Теорема 5
Каждая $m \times n$ матрица $A$ эквивалентна строке с эшелонированной матрицей с уменьшенным числом строк.

Добро пожаловать на сайт Математика, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...