Существует ли общая формула для r начального предположения метода Ньютона-Рафсона для r нахождения корней - Математика
0 голосов
/ 04 мая

Через несколько дней go у нас была викторина, и я решил 3/4 вопроса, и я понял, что четвертый вопрос, который был упомянут как неправильный. Вопрос был

FIND THE SMALLEST POSITIVE ROOT BY USING NEWTON-RAPHSON METHOD,

Я спросил, что не так с моим решением, поэтому у меня был спор с моим учителем исчисления r о методе нахождения корней Ньютона, а именно о начальном предположении

Пример был такой: $$\bf f(x)=\cos(3x) + x^3 -2$$ a root лежит между 1 и 2

Я сказал professo r, что мы можно выбрать любые точки между ними в качестве начального предположения $\bf x_0$ и выбрал 1,5 , поэтому решил.

Но, professo r сказал, что мы можем выбрать начальное предположение в следующей формуле:

  • if f(a)f''(x) > 0 then x0 = a o r
  • if f(b)f''(x) > 0 then x0 = b,

Не знаю Я действительно не знаю, где она получила эти условия, но я не ответил ему по электронной почте r об этом.

Я искал в Google около 2 часов и Я НЕ НАЙТИ ни одного подобного результата. Итак, я хотел спросить вас, кто здесь? Я о r он r? Можем ли мы выбирать первоначальное предположение, как мы хотим, o r мы должны следовать инструкциям r там, где их нет в реальной жизни? O r, я ошибаюсь, потому что даже в википедии нет никакой информации о первоначальном предположении.

1 Ответ

1 голос
/ 04 мая

В методе Ньютона есть очень распространенное упражнение, которое гарантирует сходимость в случае scalar.

Рассмотрим r в качестве базового случая тот, в котором функция имеет изменение знака, выпуклое и возрастающее на интервале $[a,b]$.

Тогда касательная $t_a(x)$ при $a$ (отрицательное значение функции) может быть почти горизонтальным, оно может иметь root почти везде, также вне интервала. В качестве примера рассмотрим r $f(x)=x^2+0.1x-0.5$ на интервале $[a,b]=[0,1]$. Тангенс в $a=0$ равен $t_a(x)=0.1x-0.5$ и имеет root $x=5$ далеко за пределами интервала. Касательная в $b=1$ равна $t_b(x)=2.1(x-1)+0.6$ с root в $x=\frac57$ внутри интервала.

Howeve r, тангенс $t_b(x)$ в $b$ (значение функции положительное) больше ограничен по наклону и $x$ -интерцепту. Это опорная линия выпуклой кривой, как и любая касательная, поэтому всегда под ней. Это означает, что в $a$ касательная должна иметь отрицательное значение, $t_b(a)\le f(a)<0$</span>, и, таким образом, ее root $c$ находится между $a$ и $b$ внутри интервала.

Значение функции $0=t_b(c)\le f(c)$ в root касательной должно быть положительным (o r $c$ уже является root из $f$), поэтому $b$ может быть заменено этим root. Сокращенный интервал $[a,b']=[a,c]$ теперь удовлетворяет тем же условиям. Повторение этого наблюдения дает падающую последовательность итераций Ньютона внутри интервала, сходящегося к root.


Комбинации знаков othe r первой и второй производных (вогнутая кривая, падающая кривая) могут Теперь можно получить отражения от оси $x$ и $y$, что приведет к условию, которое вы r учите r.

...