Процесс с несколькими локальными свойствами как процесс с локально несколькими свойствами - Математика
0 голосов
/ 04 мая

Это мотивируется чтением понятия «локально квадратный интегрируемый локальный мартингал». Разбор, что я прихожу к процессу $X$ fo r, который существует две последовательности времени остановки $(\sigma_n)$ и $(\tau_n)$, fo r который $\sigma_n\uparrow \infty$ и $\tau_n\uparrow\infty$ и fo r который $X^{\sigma_n}$ является квадратично интегрируемым, а $X^{\tau_n}$ мартингейл. Можем ли мы найти единственную локализующую последовательность $(\rho_n)$ fo r, которая $X^{\rho_n}$ является одновременно интегрируемой с мартингейлом и квадратом?

В более общем смысле, учитывая множественные локальные свойства, как указано выше для r процесса $X$, можем ли мы найти единственную локализующую последовательность $(\rho_n)$ fo r, у которой остановленные процессы $X^{\rho_n}$ обладают всеми этими свойствами (и, кроме того, это ограниченный процесс, если процесс достаточно полунепрерывен)?

1 Ответ

1 голос
/ 05 мая

Чтобы ответить r Вы r Первый вопрос: Да, вы можете. Но не «естественным» способом определить $$\rho_n := \sigma_n \wedge \tau_n$$, потому что квадратная интегрируемость не гарантируется для r остановленного процесса в целом. Но если у вас есть квадратная интегрируемость максимального процесса $$X^*_t := \sup_{s\le t} |X_t|$$, то для любого времени остановки $\rho$ следует $$\begin{align*} E[X^2_{t \wedge \rho}] &= E[X^2_t1_{t\le \rho}] + E[X^2_\rho1_{t > \rho}] \\ &\le E[X^2_t] + E[X^2_\rho] \\ &= E[X_t^2] + E[X_t^*] < +\infty\end{align*}$$, что *1004*

Таким образом, квадратная интегрируемость становится стабильной после остановки r.

К счастью, свойство мартингейла стабильно при r остановке, поэтому, если $M$ - мартингейл и $\rho$ - почти наверняка конечное время остановки, то $M^\rho$ также мартингейл. Это приводит к полезному факту: если у нас есть локализующая последовательность $(\tau_n)$ st $X^{\tau_n}$ - мартингал и мы определяем $$\sigma_n = \inf \{t \ge 0\;|\; |M_t| \le n\}$$, тогда $\sigma_n$ - время остановки, а с $$\rho_n := \tau_n \wedge \sigma_n$$ мы получаем, что $M^{\rho_n}$ - это ограниченный мартингал, следовательно, квадратично интегрируемый.

Итак, подведем итог: для Fo r свойств, которые являются стабильными при простой остановке r, вы можете объединить все связанное время остановки с учетом минимума всех времен остановки.

Fo r Из других r вы все еще можете построить время остановки так, чтобы вы получили ограниченный мартингал, и большинство свойств сохраняют для r ограниченных мартингалов.

Если у вас есть свойство, которое является r стабильным и неденимым r остановкой нет r действительным для r ограниченных мартингалов, вы должны найти другой r способ.

...