linea r алгебра Как рассчитать преобразование матрицы из пространства матрицы в другое r пространство матрицы - Математика
1 голос
/ 04 мая

предположим, у меня есть строка r trasformation $$T(X)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}X,T:M_{2}(\mathbb{R})\rightarrow M_{2}(\mathbb{R})$$ и я хочу найти собственные значения, я начал с вычисления преобразования базисных матриц. $$T\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)$$ и сделал это для r остальных базисных векторов. теперь, когда я строю матрицу преобразования, будет ли она матовой r, если я организую их по строке o r по столбцу? я имею в виду, есть ли разница между $$\left[T\right]_{E}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)%% %% \left[T\right]_{E}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

engli sh не мой основной язык, поэтому мне было трудно понять, что Google в orde r, чтобы найти решение.

edit: у меня есть матрицы $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) $$, и проблема в том, как заказать r thei r записей: в виде строк o r столбцов?

спасибо!

1 Ответ

1 голос
/ 04 мая

Если я понимаю, вы рассматриваете вопрос r, чтобы заказать r вы r основание для r $M_2$ как $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, $$ или $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 &0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} .$$ Если это так, то это не будет матовым r. Это всего лишь изменение базиса, которое не изменит r собственных значений.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Если у нас есть преобразование r linea $T : V \to V$, где $V$ является $d$ - размерное векто r пространство, мы можем закодировать его в виде квадратной матрицы следующим образом. Пусть $\{v_1, \ldots, v_d \}$ будет основой для r $V$. Определите матрицу $d \times d$ $A = [a_{i, j}]_{i, j = 1}^d$, посмотрев на $T v_j$ и написав $T v_j = a_{1, j} v_1 + \cdots + a_{d, j} v_d = \sum_{i = 1}^d a_{i, j} v_j$. Выражение уникально, потому что $\{ v_1, \ldots, v_d \}$ является основой для r $V$. Это означает, что $j$-й столбец матрицы $A$ показывает, как $T$ действует на $v_j$. Однако r жизненно важно, чтобы при расчете собственных значений мы сохраняли последовательность r базиса, то есть мы не могли их поменять местами.

Так что, если бы мы взяли r Если исходить из \begin{align*} v_1 & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , & v_2 & = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \\ v_3 & = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, & v_4 & = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} , \end{align*}, то мы вычисляем матрицу r следующим образом. \begin{align*} T v_1 & = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ & = v_1 + v_3 , \\ T v_2 & = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ & = v_2 + v_4, \\ T v_3 & = v_1 + v_3 , \\ T v_4 & = v_2 + v_4 . \end{align*} Матрица для r $T$ unde r эта база будет тогда $$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} .$$

Теперь для r забавно, давайте переопределим r основу и рассмотрим r основа \begin{align*} w_1 & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, & w_2 & = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} , \\ w_3 & = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, & w_4 & = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} Вот как я r интерпретировал вопрос о "строках" и "столбцах", извините, если я вас неправильно понял. Если мы вычислим оперу r на этой основе, то получим \begin{align*} T w_1 & = w_1 + w_2, & T w_2 & = w_1 + w_2, \\ T w_3 & = w_3 + w_4, & T w_4 & = w_3 + w_4 , \end{align*}, получая матрицу $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} .$$

Так как fa r как вычисление собственных значений, эти матрицы так же хороши, как и все остальные. r. Это то, что мы называем эквивалентом , что означает, что существует обратимая $d \times d$ матрица $S$ такая, что $A = S B S^{-1}$. В общем, если мы возьмем некоторые преобразования r linea $T : V \to V$ и возьмем любые два основания $V$, скажем $\{ v_1, \ldots, v_d \}, \{ w_1, \ldots, w_d\}$, и напишем матрицу $A$ fo r $T$ на основе $\{ v_1, \ldots, v_d\}$, а матрица $B$ fo r $T$ на основе $\{ w_1, \ldots, w_d \}$, тогда $A$ и $B$ будут эквивалентны. Любые две эквивалентные матрицы будут иметь одинаковые характеристики c полиномов и, следовательно, одинаковые собственные значения.

Я также хочу прокомментировать, что именно так вы строите эти квадратные матрицы, когда $T$ отображается из векто r пробел $V$ самому себе. В общем, у нас будут преобразования r $T : V \to W$, где мы, очевидно, не можем использовать один базис для вычисления $T$. Вместо этого нам понадобится база для r $V$ и база для r $W$. r что вы можете посмотреть в разделе 1.4 этих заметок .

...