Вопрос с Джорданом измерим - Математика
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

$\textbf{Definition :}$ Набор $X\in \mathbb{R}^n$ измерим по Иордану, если существует $R$ прямоугольник такой, что $A\subseteq R$ и функция $\chi_{A} : R \rightarrow \mathbb{R}$ интегрируемы.

Рассмотрим $Y\subseteq X$, где $X,Y$ - измеримые по Иордану. Так существует прямоугольник $R$ такой, что $X\subseteq R$ и $\chi_{X}$ являются интегрируемыми. Тогда $\chi_{Y}$ интегрируемо? Или эквивалентно: если $X$ измеримо по Иордану, то для всех $R$ прямоугольников, таких, что $X\subseteq R$ имеет то, что $\chi_{X}$ интегрируемо?.

Интуитивно, я бы сказал, что да, но я не могу доказать это.

1 Ответ

1 голос
/

Ответ - да, и это можно доказать, используя лемму 13.1 в Анализе на многообразиях Мункреса.

Если $f$ - ограниченная функция, которая исчезает за пределами $R\cap R'$, где$R,R'$ - это прямоугольники в $\mathbb{R}^n$, затем $\int_R f = \int_{R'} f$, где один интеграл существует тогда и только тогда, когда другой.

В этом случае возьмите $f = \chi_X$ и пусть $R$ и $R'$ - любые прямоугольники, такие как $X \subset R$ и $X \subset R'$. С $X \subset R \cap R'$ следует, что $\int_R \chi_X = \int_{R'} \chi_X$.

...