Найдите обратное значение $f(x)=2^{\log_{10} x}+8$ и решите уравнение $f(x)=f^{-1}x$ - Математика
Купить гитару в Москве
0 голосов
/

Найдите обратное $f(x)=2^{\log_{10} x}+8$ и решите уравнение $f(x)=f^{-1}x$

Моя попытка выглядит следующим образом: -

Нахождение обратного:

$$y=2^{\log_{10} x}+8\tag{1}$$

Замена $x$ на $y$ и $y$ на $x$ $$x=2^{\log_{10} y}+8$$ $$x-8=2^{\log_{10} y}$$ $$\log_2 (x-8)=\log_{10} (y)$$ $$10^{\log_2 (x-8)}=y$$

$$f^{-1}(x)=10^{log_2 (x-8)}\tag{2}$$

Приравнивая $(1)$ и $(2)$

$$f(x)=f^{-1}x$$ $$2^{\log_{10} x}+8=10^{\log_2 (x-8)}\tag{3}$$ $$2^{\log_{10} x}+8=2^{\log_2 (x-8)}5^{log_2 (x-8)}$$ $$2^{\log_{10} x}+8=(x-8)5^{\log_2 (x-8)}$$ $$8+8\cdot 5^{\log_2 (x-8)}=x\cdot5^{\log_2 (x-8)}-2^{\log_{10} x}\tag{4}$$

Я застрял здесь,поэтому я попытался решить уравнение $(3)$, построив точки.

Таким образом, можно увидеть, что $x=10$, $f(x)=12,f^{-1}(x)=10$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&\ 2^{\log_{10} x}+8&\ 10^{\log_2 (x-8)}\\ \hline \ 10&10&10\\ \hline \ 11&2^{\log_{10} 11}+8&10^{log_2 3}\\ \hline \ 12& 2^{\log_{10} 12}+8& 100\\ \hline \hline \end{array}$$

Так далее $x=10$, $10^{\log_2 (x-8)}$ обгоняет $2^{\log_{10} x}$, поэтому единственным решением может быть $10$.

Интересно также отметить, что оба этих графика встречаются в $y=x$.

Но как решить этот вопрос без использования графика. Там в любом случае? Я застрял в уравнении $(4)$.

1 Ответ

0 голосов

Запись: $$ 10^{\log_2(x - 8)} = (2^{\log_{2} 10})^{\log_2(x-8)} = 2^{\log_2 10 \log_2 (x-8)} $$

Левая сторона - $2^{\log_{10} x} + 2^3$. Принимая RHS - LHS дает: $$ 2^{\log_2 10 \log_2(x-8)}- 2^{\log_{10} x} - 8 = 2^{\log_{10} x}(2^{\log_2 10 \log_{2}(x-8) - \log_{10} x} - 1) - 8 $$

Мы утверждаем, что RHS - LHS увеличивается в $x$. Поскольку в $x$ вблизи $8$ (область самой низкой точки $f^{-1}$) эта функция отрицательна, она будет иметь корень между $8$ и положительной бесконечностью, которая по свойству увеличения должна быть уникальной. После этого мы подтверждаем, что $10$ является уникальным корнем.

Чтобы увидеть возрастающую природу, обратите внимание, что нам просто нужно показать, что $\log_{2} 10 \log_2(x-8) - \log_{10}x$ - это возрастающая функция, потому что после этого константы не влияютвещей, и $2^{\log_{10} x}$ также увеличивается.

Мы используем здесь переписывание ln, чтобы сделать базы общими. Напишите $\log_{10}2 = C$: $$ C\log_2(x-8) - \log_{10}x = \frac{C}{\ln 2} \ln(x-8) - \frac{\ln x}{\ln 10} $$

и возьмите производную (без которой здесь все не работает) $$ \frac{C}{\ln 2} \frac{1}{x-8} - \frac{1}{x\ln 10 } $$

Наблюдается, что $\frac{C}{\ln 2} > 1 > \frac 1{\ln 10}$, поэтому разница как минимум$\frac{1}{\ln 10}(\frac 1{x-8} - \frac 1x) > 0$, из чего мы заключаем, что функция увеличивается с $0 < x-8 < x$ в домене, и мы закончили.

...