Вопрос анализа вектора формул Frenet serret - Математика
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

Если единица касательного вектора $\bar{t}$ и бинормальный вектор $\bar{b}$ составляют угол $\theta, \phi$ с постоянным единичным вектором $\hat{a}$. Поэтому докажите, что $$\frac{\sin\theta}{\sin\phi}\cdot\frac{d\theta}{d\phi}=-\frac{\kappa}{\tau}$$

Я не уверен, как подойти к проблеме. Но применяя формулы Френе-Серре $$\frac{dt}{ds}=-\frac{\kappa}{\tau}\frac{d}{ds} \\ \frac{dt}{d\theta}\frac{d\theta}{ds}=-\frac{\kappa}{\tau}\frac{db}{d\phi}\frac{d\phi}{ds}$$

Теперь, если я смогу показать $dt/d\theta= \sin\theta;db/d\phi= \sin\phi$, это будет доказано. Однако я не могу понять, как или почему это было бы так.

1 Ответ

1 голос
/

Обратите внимание, что $$ \cos \theta = \frac{\langle \bar t, \hat a\rangle}{\|\bar t\| \|\hat a\|} = \langle \bar t, \hat a\rangle $$ и аналогично $\cos \phi = \langle \bar b, \hat a\rangle$. Затем $$ \begin{align*} \frac{\sin \theta\, d\theta}{\sin \phi\, d\phi} &= \frac{d(\cos \theta)}{d(\cos \phi)} \\ &= \frac{d( \langle \bar t, \hat a \rangle)}{d(\langle \bar b, \hat a \rangle)} \\ &= \frac{\langle d(\bar t), \hat a \rangle}{\langle d(\bar b), \hat a \rangle} \\ &= \frac{\langle \bar t', \hat a \rangle}{\langle \bar b', \hat a \rangle}. \end{align*} $$ Чтобы найти ответ, примените формулы Френе-Серре для $\bar t$ и $\bar b$.

Добро пожаловать на сайт Математика, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...