Тройной Интеграл $\int \int \int_D x^2yz dxdydz$ над странной областью - Математика
Купить гитару в Москве
4 голосов
/

Довольно простой тройной интеграл $$\int \int \int_D (x^2yz) dxdydz$$ по области $D = \{(x,y,z):0 \leq x \leq y+z \leq z \leq 1\}$.

Я не уверен, как интерпретировать эту область, вот что я сделал до сих пор:

площадь строго положительна, мы получаем из $0 \leq x \leq y+z \leq z \leq 1$ $$\begin{align} 0 &\leq x \leq 1 \\ -z &\leq y \leq 0 \qquad \text{and} \\ 0 &\leq z \leq 1\end{align}$$

Что дает мне интеграл: $$\int_0^1 \int_{-z}^0 \int_0^1 (x^2yz) dxdydz$$

Это я могу довольно легко вычислить, дав мне окончательный ответ $\frac{1}{24}$, (У меня нет ключа).

Я не уверен, что мои пределы интеграции верны, если бы не было никаких указаний на то, как я могу их выяснить, было бы очень признательно.

Спасибо вавансовый.

Ответы [ 2 ]

3 голосов
/

Вы должны с подозрением относиться к своим первым границам, потому что они являются константами, но неравенства для $x$ не ограничены константами. Давайте посмотрим на неравенства и выберем сначала $x$.

$$ 0 \leq x \leq y+z$$

Далее, после того, как $x$ исчезнет, ​​мы получим неравенства

$$ 0 \leq y+z \leq z \implies -z \leq y \leq 0 $$

Наконец, когда мы ушли $y$, неравенства теперь читаются как

$$ 0 \leq z \leq 1$$

, оставляя нас с целыми числами

$$\int_0^1 \int_{-z}^0 \int_0^{y+z} x^2yz dxdydz = -\frac{1}{420}$$

1 голос
/

enter image description here Это не странная область! (На самом деле объем), скажем, $f(x,y,z)=x^2yz$ - это формула для нахождения калорий в каком-либо месте в этом кусочке торта, и мы хотим узнать общее количество калорий. , это постановка проблемы. Основа торта - плоскость $xy$, а поверхность - плоскость $x+y-z=0$, а стороны разрезаны плоскостями $xz$ и $yz$. $A(0,0)$, $B(0,1)$ $C(1,0)$.

Добро пожаловать на сайт Математика, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...