Как группа Галуа ведет себя с полиномом с примером? - Математика
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

Пусть $G$ - мультипликативная группа по модулю 16, то есть $(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times$.

Итак, мы знаем $$ G = \{1,3,5,7,9,11,13,15\}. $$ Теперь у нас есть циклическая группа $\langle 3 \rangle = \{1, 3, 9, 11\}$ в качестве подгруппы.

Таким образом, мы можем иметь фактор-группу, состоящую из 2 смежных классов: $$ Z = G/\langle 3 \rangle = \{\{1, 3, 9, 11\}, \{5, 7, 13 ,15\}\}. $$ Позвольте обозначить $H_1 = \{1, 3, 9, 11\}$ и $H_2 = \{5, 7, 13, 15\}$.

С другой стороны, у нас есть $(X^8 + 1) \equiv f_1(X)f_2(X) \mod 3 $.

И следующее утверждение $\mathcal{Gal}(\mathbb{Q}[\zeta]/\mathbb{Q}) \cong G$.

Вопрос 1. Можно ли определить $f_1(X)$ и $f_2(X)$ с $H_1$ и $H_2$ соответственно? Пусть $f_1(X) = a_4 X^4 + a_3 X^3 + a_2 X^2 + a_1 X + a_0$ и $f_2(X) = b_4 X^4 + b_3 X^3 + b_2 X^2 + b_1 X + b_0$. Существует ли какая-либо связь между коэффициентами $f_1(X)$, $f_2(X)$ и $H_1, H_2$?

Вопрос 2: Если применяется некоторая перестановка $\sigma_i$ для $i \in G$ в группе Галуа, есть ли $i$ это меняет $f_1(X)$ и $f_2(X)$ ??

Добро пожаловать на сайт Математика, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...