$\mathbf V \mathbf \Sigma ^2\mathbf V^H=\mathbf V \mathbf V^H \mathbf \Sigma ^2?$, если $\mathbf \Sigma$ - диагональная матрица - Математика
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Если $\mathbf \Sigma$ - это неквадратная диагональная матрица, и все элементы в ней имеют действительное положительное значение.

Теперь $\mathbf V$ - это ортогональная квадратная матрица, что означает $\mathbf V \mathbf V^H=\mathbf V^H \mathbf V=\mathbf I$.

Теперь есть формула

$\mathbf U \mathbf \Sigma \mathbf V^H(\mathbf V \mathbf \Sigma ^2\mathbf V^H)^{-1}\mathbf V \mathbf \Sigma$, мой расчет прав?

$\mathbf U \mathbf \Sigma \mathbf V^H(\mathbf V \mathbf \Sigma ^2\mathbf V^H)^{-1}\mathbf V \mathbf \Sigma=\mathbf U \mathbf \Sigma \mathbf V^H(\mathbf V \mathbf V^H \mathbf \Sigma ^2)^{-1}\mathbf V \mathbf \Sigma=\mathbf U \mathbf \Sigma \mathbf V^H\frac{\mathbf I}{diag(\mathbf \Sigma ^2)}\mathbf V \mathbf \Sigma=\mathbf U \mathbf Idiag(\mathbf \Sigma ^2) \frac{\mathbf I}{diag(\mathbf \Sigma ^2)} \mathbf V^H\mathbf V =\mathbf U ?$

1 Ответ

0 голосов
/

Большая часть вопроса не имеет смысла, но отвечать на вопрос в приглашении: НЕТ. Если у вас есть $VD^2V^T$, это в общем случае не будет равно $VV^TD^2$. Как вы сказали, $V$ ортогонально, следовательно, удовлетворяет $VV^T = I$. Контрпример к $VD^2V^T = VV^TD^2 = D^2$:

$$ \left[ \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ \end{array} \right ]\left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right ]\left[ \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ \end{array} \right ] \;\; =\;\; \left [\begin{array}{cc} 3/2 &1/2 \\ 1/2 &3/2 \\ \end{array} \right ]. $$

...