Кер ($\phi$) кольцевого гомоморфизма - Математика
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Пусть $\phi_1 : \mathbb{Z}[x]\rightarrow \mathbb{Z}$ будет оценочным гомоморфизмом в $1$. Что такое $\ker(\phi_1)$?

Я знаю, что ядром кольцевого гомоморфизма $\phi : R\rightarrow S$ является множество $\{a \in R \mid \phi(a) = 0_S\}$. Но мне трудно найти, какие элементы содержатся в $\ker(\phi_1)$. Заранее спасибо.

1 Ответ

1 голос
/

Пусть $f(x)\in \text{ker}(\phi)\implies \phi(f)=0\implies f(1)=0$. Теперь по алгоритму деления имеем $$f(x)=q(x)(x-1)+r(x)$$ для некоторых $q(x),r(x)\in \Bbb Z[x]$ с $r=0$ или $\text{deg}(r)<\text{deg}(x-1)=1.$</span> Другими словами, $r$ является постоянным полиномом в обоих случаях. Но $0=f(1)=q(1)(1-1)+r(1)\implies r=0$. Так что, $f(x)=(x-1)q(x)$. То есть $\text{ker}(\phi)\subseteq \{g(x)(x-1):g(x)\in \Bbb Z[x]\}$.

И наоборот, для любого $g(x)\in \Bbb Z[x]$ мы имеем, $\phi\big(g(x)(x-1)\big)=(1-1)g(1)=0\implies \{g(x)(x-1):g(x)\in \Bbb Z[x]\}\subseteq\text{ker}(\phi).$

Объединяя все эти $\{g(x)(x-1):g(x)\in \Bbb Z[x]\}=\text{ker}(\phi)$.

Добро пожаловать на сайт Математика, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...