Доказательство фундаментальной теоремы исчисления, используя большой O - Математика
Купить гитару в Москве
4 голосов
/

enter image description here

Насколько я понимаю, фундаментальная теорема исчисления требует, чтобы $f$ было непрерывным при $x$. Но я не уверен, где это было использовано в приведенном выше доказательстве. Я также думаю, что это проблема со строки 2 до строки 3. Может ли кто-нибудь объяснить этот шаг?

Обратите внимание, что это извлечено из заметок студента из Кембриджа https://dec41.user.srcf.net/notes/IA_M/differential_equations_trim.pdf (просто посмотрите на раздел интеграции)

Ответы [ 3 ]

1 голос
/

Использование $O(h^2)$ здесь неправильно. Просто непрерывность не может обеспечить это. С другой стороны, если $f$ дифференцируемо, то мы можем написать $f(t) =f(x) +O(h) $, и интегрирование этого дает желаемый результат в вопросе.

Таким образом, приведенное в вашем вопросе доказательство делает дополнительное предположение, и ИМХО в полной мере следуетне будет предоставлено, если это ответ на вопрос на экзамене.

0 голосов
/

Во второй строке $h$ стремится к $0$, подразумевая, что значение или высота функции $f(x)$ очень близки к $f(x+h)$, теперь ширина $dh$. Так что, если мы примем это как константу, площадь будет $f(x)h$. Теперь, если это линейно увеличивающаяся ошибка, это оставленный треугольник, который является Error = $0.5 ~ h~ ( f(x+h)-f(x))$. Для линейного наклона кривой (м) = $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Итак, ошибка $=0.5 m h^2 =O(h^2)$. Теперь, если он не является линейным, более высокие порядки с разложением в ряд Тейлорса, он будет иметь члены со степенями $h$, большими, чем 2, означающими очень маленькие числа. Отсюда строка 3.

0 голосов
/

Проще сделать это строго, используя непрерывность $f$ в $x$:

Let $\epsilon>0$. Существует $\delta>0$ такое, что $|f(x+h)-f(x)|<\epsilon$</span>, если $0. Тогда для таких $h,$

$\frac{1}{h}\int^{x+h}_xf(t)dt-f(x)=\frac{1}{h}\int^{x+h}_x(f(t)-f(x))dt$

так

$\left|\frac{1}{h}\int^{x+h}_x(f(t)dt-f(x))\right|\le \frac{1}{h}\int^{x+h}_x|f(t)-f(x)|dt\le \frac{1}{h}\cdot\epsilon\cdot h=\epsilon.$

...