$1+\frac{3+\frac{5+\frac{⋰}{6}}{4}}{2}$ - Математика
Купить гитару в Москве
0 голосов
/

Предположим, у нас есть рекурсивно определенная последовательность $T_n$ такая, что $T_n=n+\frac{T_{n+2}}{n+1}$ и так $T_1$ выглядит как это:

$$1+\cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{⋰}{10}}{8}}{6}}{4}}{2}$$

Как сделатьЯ это решаю?

Ответы [ 2 ]

1 голос
/

Мой подход немного более строгий, чем у ОП, поскольку, как правило, неоправданно манипулировать «бесконечными фракциями башен», как если бы он был конечным.

Однако мой намного медленнее.

У нас есть рекурсия $$T_n=n+\frac{T_{n+2}}{n+1}$$, и ОП запрашивает $T_1$.

Сначала определите $V_n=T_{2n+1}$. Затем $$V_n=2n+1+\frac{V_{n+1}}{2n+2}\implies V_{n}=-2n(2n-1)+2nV_{n-1}$$ и мы хотим найти $V_0$.

Вспомните чрезвычайно полезную формулу для рекурсии первого порядка: $$f_n=\alpha_n+\beta_n f_{n-1}\implies f_n=f_0\prod^n_{i=1}\beta_i+\sum^{n-1}_{k=0}\alpha_{n-k}\prod^k_{j=1}\beta_{n-j+1}$$

Применение ее дает $$\begin{align} V_n &=V_0\prod^n_{i=1}(2i)-\sum^{n-1}_{k=0}(2(n-k)-1)(2(n-k))\prod^k_{j=1}2(n-j+1) \\ &=V_02^n n!-\sum^{n}_{k=1}(2k-1)(2k)\prod^{n-k}_{j=1}2(n-j+1) \\ &=V_02^n n!-\sum^{n}_{k=1}(2k-1)(2k)\prod^{n}_{j=k+1}2j \\ &=V_02^n n!-\sum^{n}_{k=1}(2k-1)(2k)\cdot 2^{n-k}\frac{n!}{k!} \\ \frac{V_n}{2^nn!}&=V_0-\sum^{n}_{k=1}\frac{4k^2-2k}{2^kk!} \qquad{(\star)} \\ \end{align} $$

Из рекуррентного отношения видно, что $V_n=O(n)$. Поэтому, принимая предел $n\to\infty$ по обеим сторонам $(\star)$, $$V_0-\sum^{\infty}_{k=1}\frac{4k^2-2k}{2^kk!}=0$$

Мы можем применить известные формулы для очень быстрой оценки этой суммы, но я хотел бы продемонстрировать, что замкнутая форма этой суммы может бытьполучено чисто элементарными методами: $$\begin{align} \sum^{\infty}_{k=1}\frac{4k^2-2k}{2^kk!} &=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{4k-2}{2^k(k-1)!} \\ &=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{4k+2}{2^{k+1} k!} \\ &=2\sum^{\infty}_{k=0}\frac{k}{2^k k!}+\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{2^k k!} \\ &=2\sum^{\infty}_{k=1}\frac{k}{2^k k!}+\sqrt e \\ &=2\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2^k (k-1)!}+\sqrt e \\ &=2\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{2^{k+1} k!}+\sqrt e \\ &=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{2^{k} k!}+\sqrt e \\ V_0&=2\sqrt e \qquad{\blacksquare}\\ \end{align} $$

ps Я раньше не видел этой проблемы.

pps Мы допустили такую ​​же неосторожную ошибку:)

0 голосов
/

Мое решение:

$\Large{1+\frac{3+\frac{5+\frac{⋰}{6}}{4}}{2}}$

$\Large{={1+\frac{3}{2}+\frac{\frac{5}{4}}{2}+\frac{\frac{\frac{7}{6}}{4}}{2}}⋯}$

$\Large{=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{2i+1}{{2^i}\cdot{i}!}} }$

обратите внимание, что я итератор, а не мнимая величина

$\Large{=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{{2^i}\cdot{i}!}+\frac{2i}{{2^i}\cdot{i}!}} }$

$\Large{=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{{2^i}\cdot{i}!}+\frac{2i}{{2^i}\cdot{i}!}} }$

$\Large{=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{{2^i}\cdot{i}!}+\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{2i}{{2^i}\cdot{i}!}}} }$

$\Large{=\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^i}{{i}!}+\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{{2^{i-1}}\cdot\left(i-1\right)!}}} }$

$\Large{=e^{1/2}+\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{{2^{i-1}}\cdot\left(i-1\right)!}} }$

(1. потому что формула e ^ k sum из википедии 2. потому что $\frac{1}{-1!}=0$)

$\Large{=\sqrt{e}+\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{{2^{i}}\cdot{i}!}} }$

$\LARGE{=2\sqrt{e}}$

$\LARGE{Q. E. D.}$

Добро пожаловать на сайт Математика, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...