Рациональные $p$ -адические целые и целые числа в $p$ -адическом поле - Математика
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Это очень простой вопрос;если это не подходит здесь, я удалю;но перед удалением будет лучше, по крайней мере, если кто-то немного прояснит. В книге Хупперта «Теория характеров конечных групп» автор берет подмножество $\mathbb{Q}$, определяемое $\mathbb{Z}_p=\{ \frac{a}{b} \,\,|a,b\in\mathbb{Z}, p\nmid b\}$, и называет его кольцом рациональных $p$ -адических целых чисел (стр. $467$ - $468$). );оно такое же (изоморфное), что и кольцо, которое рассматривалось здесь ?

Ответы [ 2 ]

3 голосов
/

Нет. Они разные.

  • Кольцо, описанное в MathWorld, является кольцом $p$ -адических целых чисел, $\Bbb{Z}_p$.
  • Это кольцо является интегральной областью, и завершение из $\Bbb{Z}$ по $p$ -адической метрике.
  • Поле $p$ -адических чисел , обозначаемое $\Bbb{Q}_p$, является полем дробей$\Bbb{Z}_p$. Его элементы имеют описание, аналогичное степенному ряду $p$, но на этот раз мы допускаем, чтобы наименьший показательный показатель $m$ также был отрицательным целым числом (то есть конечной точкой).
  • Мы можем просмотреть $\Bbb{Q}$ как подмножество $\Bbb{Q}_p$, а кольцо $\Bbb{Z}_{(p)}$, описанное Хуппертом, является пересечением $\Bbb{Q}\cap\Bbb{Z}_p$, взятым внутри $\Bbb{Q}_p$.
2 голосов
/

Обычно $\Bbb Z_p$ обозначает кольцо $p$ -адических целых чисел, завершение $\Bbb Z$ относительно $p$ -адической топологии. То, что делает здесь Хупперт, рассматривает то, что я мог бы написать $\Bbb Z_{(p)}$, локализацию $\Bbb Z$ относительно первичного идеала $p\Bbb Z$. Тогда $\Bbb Z_p\not\cong\Bbb Z_{(p)}$, поскольку первое неисчислимо, а второе счетно. Но $\Bbb Q\cap\Bbb Z_p=\Bbb Z_{(p)}$, когда $\Bbb Q$ и $\Bbb Z_p$ рассматриваются как подстроки $\Bbb Q_p$ (поле $p$ -адических чисел). Это, я полагаю, оправдывает использование жаргонных рациональных $p$ -адических целых чисел .

...